Teorie automatického řízení

Geometrické místo kořenů

Příklad 4.1 - zadání

Úkolem je nalézt geometrické místo kořenů charakteristického polynomu obvodu tvořeného soustavou s přenosem (konstanta přenosu k = 1 je bezrozměrná, čas v sekundách)

a P regulátorem a pro něj zjistit hodnotu zesílení, s níž je docíleno doporučené optimální hodnoty relativního tlumení r = 0,4. Ukázat souvislost mezi rovinou kořenů a zobrazením imaginární osy charakteristickým polynomem na Michajlovovu křivku.

Příklad 4.1 - řešení

Geometrické místo kořenů začíná (r₀ = 0) v bodech, které jsou totožné s póly přenosu samotné soustavy. Z vyobrazení roviny kořenů v levé části obr. 9 je patrné, že se v daném číselném příkladu s rostoucí hodnotou zesílení reálný kořen vzdaluje a dvojice komplexně sdružených kořenů se naopak přibližuje imaginární ose. Dominance dvojice komplexně sdružených kořenů roste, klesá útlum, a nakonec při hodnotě r₀ = 3,5 [1] obvod přejde do trvale netlumených kmitů s úhlovou frekvencí kolem 1,25 [1/s]. Toto kritické seřízení regulátoru lze také názorně zjistit v pravé části obr. 9, kde je nakreslena Michajlovova křivka příslušná samotné soustavě. Připojení P regulátoru vede ke změně absolutního členu v charakteristickém polynomu soustavy, která se projeví ve změně posunutí počátku Michajlovovy křivky na reálné ose o hodnotu nastaveného zesílení r₀ doprava, přičemž se ve stejném směru posouvá celá Michajlovova křivka bez tvarových změn. Vzdálenost průsečíku Michajlovovy křivky se zápornou reálnou osou od počátku vyjadřuje míru bezpečnosti ve stabilitě a je rovna hodnotě kritického zesílení r_0krit = 3,5. Vedle orientačního odečtení z grafu Michajlovovy křivky (obr. 9) lze kritické zesílení určit výpočtem

Po nakreslení polopřímek konstantního relativního tlumení r = 0,4 [1] v rovině kořenů dochází skutečně k jejich protnutí s křivkou geometrického místa kořenů někde kolem vypočtené hodnoty r0 = 0,47 [1], což znamená, že mezi kořeny charakteristického polynomu je i dvojice (-0,36 ±0,9j) [1/s] vykazující požadovanou hodnotu relativního tlumení. Z trojice kořenů leží tato dvojice nejblíže imaginární ose a určuje charakter regulačního pochodu. Reálná část -a = 0,36 [1/s] reprezentuje exponent obalové exponenciály ovlivňující dobu, za jakou se regulační pochod ustálí (přibližná doba ustálení je p/0,36 = 8 [s]). Imaginární část definuje úhlovou frekvenci w = 0,9 [1/s] a jí příslušející periodu kmitů, která vychází na asi 2p/0,9 = 7 [s].

Příklad 4.1 - závěr

Posun Michajlovovy křivky doprava na obr. se zvětšující se hodnotou zesílení umožňuje velmi názorně vysvětlit, které typy soustav ve spojení s P regulátorem do obvodu zůstávají stabilními, a snadno zjistit kritické zesílení. Ačkoliv krácení mocnin frekvence w v imaginární části snižuje stupeň polynomu, jehož kořeny je třeba najít (což dříve otevíralo cestu analytickému výpočtu i pro charakteristické polynomy stupně vyššího než čtvrtého), je hledání optimálního seřízení řešením podmínky průchodu Michajlovovy křivky počátkem s výjimkou elementárních případů bez počítače poměrně pracné.

Obr. 10 Bloková schéma pro simulaci obvodu

Obr. 11 Výsledky při simulaci odstraňování důsledků poruchy

Zpět | Skript pro souvislost roviny kořená a Michajlovovy křivky | Model ke stažení