Teorie automatického řízení

Metoda bezpečnosti ve fázi

Frekvenční charakteristika otevřeného obvodu a Nyquisovo kritérium

Vlastnosti regulačního obvodu velice souvisí s kořeny charakteristické rovnice. Přenos otevřenéh (rozpojeného) regulačního obvodu definovaný součinem přenosů regulátoru a soustavy, tj. G_R(s).G_S(s). Charakteristickou rovnici reprezentuje tedy také zápis

( 32 )

( 33 )

Frekvenční přenos otevřeného obvoduje pro určitou frehvenci w = w_krit je roven -1 a odpovídá následující situaci:

Regulační obvod s odpojenou zpětnou vazbou je buzen harmonickým signálem přivedeným na vstup (např. jako řídicí veličina). Budicí signál se přenese na výstup sériového spojení regulátoru a soustavy, tedy na regulovanou veličinu y, jako harmonický signál se stejnou frekvencí, ale obecně s jinou amplitudou a s fázovým posunutím vůči budicímu signálu. Splnění rovností (33) indikuje dosažení fázového zpoždění na výstupu 180° při stejné amplitudě kmitů jakou má budicí signál. Připojením zpětné vazby se na vstup regulátoru přivede z výstupu soustavy signál, který díky znaménkové změně v porovnávacím členu, kmitá ve fázi a se stejnou amplitudou jako budicí signál z vnějšku. Po uzavření obvodu lze zdroj buzení z vnějšku odpojit, neboť se obvod dostane do stavu samobuzení, který se navenek projevuje netlumenými kmity regulované veličiny s frekvencí w_krit.

Tento stav na mezi stability se označuje jako kritický stav. Hodnoty parametrů regulátoru, při nichž bylo dosaženo kritického kmitání na mezi stability se označuje jako kritické seřízení.

Číselně tyto kritické hodnoty parametrů dají spočítat z rovnice (33), pokud se ovšem daný regulační obvod do tohoto stavu dá vůbec uvést. Uvedená frekvenční interpretace je základem pro názorné vysvětlení myšlenky Nyquistova kritéria stability.

Nyquistova křivka a bezpečnost ve fázi

Lze zavést souvislost polohy kořenů charakteristické rovnice obvodu s průběhem frekvenční charakteristiky otevřeného obvodu a dynamikou regulačního obvodu. Definujeme zobrazeni
q = Go(s) = G_R(s).G_S(s) , v němž se imaginární osa jako hranice stability v komplexní rovině kořenů, tj. hodnoty s = jw, zobrazí v komplexní rovině jako křivka, která je identická s frekvenční charakteristickou otevřeného obvodu G_o(s) = G_R(s).G_S(s).

Tuto křivku q nazvěme Nyquistova křivka. Kořeny charakteristické rovnice obvodu se v tomto zobrazení všechny zobrazí do bodu [-1,0j], tzv. kritického bodu.

Pokud je otevřený obvod stabilní, pak uzavřený obvod bude stabilní právě tehdy, když Nyquistova křivka nebude vpravo od kritického bodu [-1, 0j].

- Průchod křivky q = G_o(jw) nalevo od kritického bodu [-1,0j] znamená nestabilitu obvodu.
- Průchod křivky vpravo od kritického bodu[-1,0j] znamená stabilitu obvodu.
- Průchod křivky bodem [-1, 0j] znamená, že obvod je na mezi stability.

Jestliže vzdálenost kořene charakteristické rovnice obvodu od imaginární osy souvisí s rychlostí útlumu odezvy regulačního obvodu, je zřejmé, že obdobná souvislost musí existovat i v rovině G_o(jw), Tam se ovšem nevyhodnocuje problematicky definovatelná vzdálenost kořene od meze stability, nýbrž se zavádějí dva ukazatele, které do značné míry determinují dynamiku regulačního pochodu. Jsou to: fázová bezpečnost (bezpečnost ve fázi, fázová rezerva) g a průchozí frekvene w_p. Způsob, jak jsou tyto dva ukazatele zavedeny, zachycuje obr. 16.

Na obrazu je konkrétně vidět Nyquistovy křivky astatické soustavy 3. řádu závislosti na zesílení r_O PID regulátoru. Ostatní konstanty jsou nastaveny na hodnoty r_I = 0, r_D = 0,1.

Zpět | Skript ke stažení | Model ke stažení