Fakulta strojní - Ústav přístrojové a řídicí techniky

Teorie automatického řízení

Tař

Geometrické místo kořenů

Příklad 4.1 - zadání

Úkolem je nalézt geometrické místo kořenů charakteristického polynomu obvodu tvořeného soustavou s přenosem (konstanta přenosu k = 1 je bezrozměrná, čas v sekundách)

a P regulátorem a pro něj zjistit hodnotu zesílení, s níž je docíleno doporučené optimální hodnoty relativního tlumení r = 0,4. Ukázat souvislost mezi rovinou kořenů a zobrazením imaginární osy charakteristickým polynomem na Michajlovovu křivku.

Příklad 4.1 - řešení

Geometrické místo kořenů začíná (r0 = 0) v bodech, které jsou totožné s póly přenosu samotné soustavy. Z vyobrazení roviny kořenů v levé části obr. 9 je patrné, že se v daném číselném příkladu s rostoucí hodnotou zesílení reálný kořen vzdaluje a dvojice komplexně sdružených kořenů se naopak přibližuje imaginární ose. Dominance dvojice komplexně sdružených kořenů roste, klesá útlum, a nakonec při hodnotě r0 = 3,5 [1] obvod přejde do trvale netlumených kmitů s úhlovou frekvencí kolem 1,25 [1/s]. Toto kritické seřízení regulátoru lze také názorně zjistit v pravé části obr. 9, kde je nakreslena Michajlovova křivka příslušná samotné soustavě. Připojení P regulátoru vede ke změně absolutního členu v charakteristickém polynomu soustavy, která se projeví ve změně posunutí počátku Michajlovovy křivky na reálné ose o hodnotu nastaveného zesílení r0 doprava, přičemž se ve stejném směru posouvá celá Michajlovova křivka bez tvarových změn. Vzdálenost průsečíku Michajlovovy křivky se zápornou reálnou osou od počátku vyjadřuje míru bezpečnosti ve stabilitě a je rovna hodnotě kritického zesílení r0krit = 3,5. Vedle orientačního odečtení z grafu Michajlovovy křivky (obr. 9) lze kritické zesílení určit výpočtem

tar

Po nakreslení polopřímek konstantního relativního tlumení r = 0,4 [1] v rovině kořenů dochází skutečně k jejich protnutí s křivkou geometrického místa kořenů někde kolem vypočtené hodnoty r0 = 0,47 [1], což znamená, že mezi kořeny charakteristického polynomu je i dvojice (-0,36 ±0,9j) [1/s] vykazující požadovanou hodnotu relativního tlumení. Z trojice kořenů leží tato dvojice nejblíže imaginární ose a určuje charakter regulačního pochodu. Reálná část -a = 0,36 [1/s] reprezentuje exponent obalové exponenciály ovlivňující dobu, za jakou se regulační pochod ustálí (přibližná doba ustálení je p/0,36 = 8 [s]). Imaginární část definuje úhlovou frekvenci w = 0,9 [1/s] a jí příslušející periodu kmitů, která vychází na asi 2p/0,9 = 7 [s].

Obr. 9 Souvislost mezi rovinou kořenů a jejího zobrazení charakteristickým polynomem u obvodu z příkladu 3
Michajlovova křivka obvodu s hodnotou zesílení nastavenou na r0 = 0,465 [1] je shodná s vynesenou Michajlovovou křivkou soustavy posunutou v kladném směru reálné osy o 0,47 (zaokrouhleno). Zobrazení polopřímky konstantního relativního tlumení vede na zobecněnou Michajlovovu křivku, která prochází počátkem při frekvenci w = 0,9 [1/s] v souladu s očekávanou hodnotou kořene(-0,36 +0,9j) [1/s].
Přímý výpočet hodnoty zesílení pro dosažení optimální hodnoty relativního tlumení je pracnější než při kontrole stability. Z požadavku na průchod zobecněné Michajlovovy křivky počátkem
tar

plyne rovnost pro imaginární část (v číselném vyjádření pro r = 0,4 [1])
tar

s řešením w = [-3,2071; 0,8994], z něhož má smysl hodnota (po zaokrouhlení) w = 0,9 [1/s]. Po dosazení do reálné části
tar

obdržíme hledanou hodnotu zesílení r0 = 0,465. Ukázka regulačního pochodu s tímto nastavením je na obr. 10. Je z ní patrné, že proporcionální regulace se v tomto případě vyznačuje vznikem velké trvalé odchylky regulované veličiny (téměř 70 % hodnoty bez regulace - pozor - cílem je návrat regulované veličiny na nulu, a nikoli dosažení hodnoty jedna!, jak i dokládá dodatečné připojení zkusmo seřízené integrační složky).

Příklad 4.1 - závěr

Posun Michajlovovy křivky doprava na obr. se zvětšující se hodnotou zesílení umožňuje velmi názorně vysvětlit, které typy soustav ve spojení s P regulátorem do obvodu zůstávají stabilními, a snadno zjistit kritické zesílení. Ačkoliv krácení mocnin frekvence w v imaginární části snižuje stupeň polynomu, jehož kořeny je třeba najít (což dříve otevíralo cestu analytickému výpočtu i pro charakteristické polynomy stupně vyššího než čtvrtého), je hledání optimálního seřízení řešením podmínky průchodu Michajlovovy křivky počátkem s výjimkou elementárních případů bez počítače poměrně pracné.


Obr. 10 Bloková schéma pro simulaci obvodu

Obr. 11 Výsledky při simulaci odstraňování důsledků poruchy

Zpět | Skript pro souvislost roviny kořená a Michajlovovy křivky | Model ke stažení

Teorie automatického řízení - PŘT, ČVUT - FSI, Csaba Szücs, bogyo@bogyo.net, 20.05.2006